Wiele jest rzeczy na niebie i ziemi, o których się nie śniło naszym matematykom


Do położonego na krańcu odległej galaktyki Hotelu Hilberta wyróżniającego się tym, że dysponuje nieskończoną liczbą jednoosobowych pokoi, przyjeżdża niezapowiedziana wycieczka. Kierownik wycieczki prosi recepcjonistę o nocleg, deklarując, że jego grupa liczy nieskończoną liczbę uczestników. Recepcjonista bezradnie rozkłada ręce, mówiąc: "Wszystkie pokoje, choć w nieskończonej liczbie, są u nas zajęte". Jego koleżanka spieszy jednak z pomocą, mówiąc: "Poprosimy gościa z pokoju numer 1, by przeniósł się do pokoju numer 2, tego z pokoju numer 2 przesuniemy do pokoju numer 3 itd. Po nieskończonej liczbie takich przesunięć zwolni się pokój numer 1. Jeśli powtórzymy tę operację nieskończoną liczbę razy, kolejno przesuwając gości z pokoju nr 2 do pokoju nr 3, z 3 do 4 itd., ulokujemy całą nieoczekiwaną wycieczkę o nieskończonej liczbie uczestników".

Jak można umieścić nieskończoną liczbę gości w hotelu, który był całkowicie zapełniony? To jeden z paradoksów związanych z nieskończonością. Z tymi paradoksami ludzkość biedziła się przez tysiące lat, a i do dziś nie wszystkie paradoksy i problemy są rozwiązane.

Czy zero istnieje

Nieskończoność nie musi być związana z czymś wielkim. Można wszak coś w nieskończoność dzielić na nieskończenie małe części. To łączy problem nieskończoności z problemem zera. Zero przez tysiące lat szukało miejsca w matematyce i filozofii. W starożytności zastanawiano się, "czy NIC może istnieć?". Skoro czegoś nie ma, to nie ma! Podobnie z nieskończonością. Skoro coś jest nieskończone, to nie może być zrealizowane w rzeczywistości. Tak starożytni doszli do paradoksów, z którymi sobie nie poradzili.

Zenon z Elei (ok. 490-430 p.n.e.) zauważył, że jeśli Achilles będzie się ścigał z żółwiem na dystansie 100 metrów, to nigdy nie dogoni żółwia, o ile żółw dostanie fory w postaci startu, powiedzmy, z połowy dystansu. Zanim bowiem Achilles dobiegnie do jego pozycji startowej, żółw będzie już gdzieś z przodu. Zanim Achilles osiągnie to nowe położenie żółwia, zwierzę znowu będzie gdzieś bliżej celu. Nim wojownik dobiegnie do tej nowej pozycji, gad znowu będzie przed nim. I tak w nieskończoność. Zenon doszedł do wniosku, że Achilles nie może przegonić żółwia. Oczywisty nonsens.

Grecy nie byli w stanie rozwiązać paradoksu Zenona. Nie mogli wykazać, że suma nieskończonej liczby coraz mniejszych elementów (odcinków drogi pokonywanych przez Achillesa i żółwia i potrzebnego na ich przebycie czasu) może być skończona. Ten i podobne paradoksy zostały rozwiązane dopiero w XVII wieku, gdy matematycy zrozumieli pojęcie funkcji, ciągłości, granicy i nauczyli się sumować nieskończone szeregi.

W paradoksie Zenona skupiają się dwa wielkie problemy: zera i nieskończoności. Już w starożytności stosowano zapis "pustego miejsca" tam, gdzie w rachunkach nic nie powinno być. Zero jednak z trudem torowało sobie drogę do matematyki. We współczesnym sensie zadomowiło się w niej dopiero w średniowieczu.

Z nieskończonością problem był jeszcze większy. Czy może istnieć coś, co jest NIESKOŃCZONE, a więc z definicji nieosiągalne, nieogarnialne, nierealizowalne? Przypisywano te atrybuty bóstwu. Nieskończoność odegrała rolę w XVI i w XVII wieku w debacie na temat tego, czy Wszechświat jest skończony. Skoro jest dziełem Bożym, argumentowano, to musi być nieskończony, wszak dzieło doskonałej istoty nie może być skończone. Z drugiej jednak strony, jeśli Wszechświat jest nieskończony, to miejsce człowieka w nim jest niejednoznaczne. Jak słusznie uważał Giordano Bruno (1548-1600), gwiazdy są innymi słońcami, wokół których zapewne krążą inne planety, na których mogą żyć inne istoty. Jeśli Wszechświat jest nieskończony, to musi w nim się powtórzyć nasza historia i cała teoria zbawienia i predestynacji człowieka staje pod znakiem zapytania.

Gwiazdy rozpaczają

Paradoksalność i niepokojący charakter pojęcia nieskończoności znajdowały niejednokrotnie odbicie w poezji. Biczem na niewierzących i przywołaniem ich na swoje miejsce są co roku słowa kolędy Franciszka Karpińskiego (1741-1825):

"Bóg się rodzi, moc truchleje; / Pan niebiosów obnażony; / Ogień krzepnie, blask ciemnieje, / Ma granice nieskończony".

Zygmunt Krasiński (1812-1859) w "Irydionie" pisał, intuicyjnie rozumiejąc to pojęcie: "Każdemu dostała się jedna fala w nieskończoności - pęd jej słabszy lub silniejszy, ale ona płynie dni tylko kilka".

Nieskończoność była czymś groźnym i złowrogim dla Bolesława Leśmiana (1878-1937), który w "Eliaszu" pisał: "Jęczała Nieskończoność, kół miażdżona złością, / A gwiazdy rozpaczały nad Nieskończonością!".

Nade wszystko wiązała się z miejscem człowieka i możliwością poznania, jak u Williama Blake'a (1757-1827) we "Wróżbach niewinności": "Zobaczyć świat w ziarenku piasku / Niebiosa w jednym kwiecie z lasu / W ściśniętej dłoni zamknąć bezmiar / W godzinie - nieskończoność czasu" (tłum. Zygmunt. Kubiak).

Ale w matematyce, nauce formalnej, wymagającej ścisłego rozumowania, pojęcie nieskończoności znalazło miejsce z trudem i dość późno - pod koniec XIX wieku. Ogromną rolę odegrał we wprowadzeniu do matematyki tego pojęcia Georg Cantor (1845-1918).

Zauważmy, że wbrew intuicji liczb parzystych jest tyle samo co liczb całkowitych - można łatwo wykazać, że nie tylko liczb parzystych (bądź nieparzystych), ale nawet liczb wymiernych, tzn. takich, które można przedstawić jako "ułamki właściwe", czyli stosunki m/n, jest "tyle samo" co liczb naturalnych (całkowitych, dodatnich). Można wszystkie ułamki "ponumerować" liczbami całkowitymi - każdemu ułamkowi przypisać kolejną liczbę naturalną. W tym sensie liczb naturalnych jest "tyle samo" co ułamków. Z drugiej strony widzimy, że liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Nie ma największej liczby, bo zawsze można dodać do pomyślanej jako największa jeden i otrzymać jeszcze większą. To, że liczb parzystych i całkowitych jest "tyle samo", jest jednym z paradoksów nieskończoności.

Już starożytni odkryli, że poza liczbami całkowitymi i "ułamkami właściwymi", które można przedstawić jako stosunek dwóch liczb naturalnych (m/n), istnieją liczby "niewymierne", niedające się wymierzyć jedna drugą, na przykład takimi liczbami są długość przekątnej kwadratu w stosunku do jego boku (czyli pierwiastek z liczby 2 w przybliżeniu 1,41) albo stosunek obwodu koła do jego średnicy, równy p (w przybliżeniu 3,14). Takich liczb nie da się przedstawić jako "ułamków właściwych", czyli stosunku dwóch liczb całkowitych m/n. Wyraża się je w postaci ułamków dziesiętnych. Nie da się tego zrobić dokładnie. Można jedynie podawać przybliżenia. Np. przybliżenie liczby p z dokładnością do 19 cyfr znaczących pomaga zapamiętać mnemonik: "Kuć i orać w dzień zawzięcie, bo plonów nie ma bez trudu, kołyszesz szczęścia okręcie, robota to potęga ludu". Liczba liter w kolejnych wyrazach mnemonika odpowiada cyfrze w rozwinięciu liczby p.

Wielką zasługą Cantora było zastanowienie się, wbrew matematycznemu establishmentowi jego czasów, nad problemem liczebności zbiorów, porównania "liczby ich elementów", tego, czy istnieje i czym jest "nieskończoność".

Jak zauważył Cantor, liczb naturalnych jest tyle samo co całkowitych (czyli takich jak naturalne, ale też ujemnych). Podobnie liczb parzystych albo podzielnych przez siedem. Jednych, drugich i trzecich jest nieskończenie wiele, ale każdej liczbie parzystej można przyporządkować liczbę naturalną, podobnie jak można zrobić z liczbami podzielnymi przez siedem.

Okazuje się, że liczb "rzeczywistych", czyli znanych wszystkim z codziennego użytku, oraz tych "dziwnych", jak pierwiastek z liczby dwa albo jak liczba p, jest "istotnie więcej". Że nie da się ich "ponumerować" liczbami naturalnymi. Nieskończoność liczb rzeczywistych okazała się "większa" niż nieskończoność liczb naturalnych. Co więcej, okazało się, że nie ma "największej" nieskończoności. Że ten ciąg coraz "większych" nieskończoności można ciągnąć w nieskończoność. Jak się bowiem okazuje, nie istnieje "największa" nieskończoność, tak jak nie istnieje "największa liczba".

Cantor postawił sobie pytanie, czy istnieje zbiór "liczniejszy" niż zbiór liczb naturalnych (ten, którego używamy do "numerowania"), ale mniej liczny niż zbiór liczb rzeczywistych (czyli wszystkich, z którymi w życiu spotyka się większość z nas). Okazało się, że jest to głębokie pytanie, na które nie ma oczywistej odpowiedzi.

Powstają fantastyczne pytania. Skoro "liczenie" było wynikiem naturalnych procesów, np. pasterz porównał liczbę owiec wyganianych na pastwisko z liczbą kamieni odkładanych "na bok", to czy mówienie o "nieskończoności" jako o liczbie ma jakikolwiek sens? Nikt nigdy nie "odłoży" nieskończonej liczby kamieni.

Kosmiczny cenzor

Pytania, które przez wieki gnębiły matematyków i filozofów, stały się pytaniami fizyków. Czy Wszechświat jest nieskończony? Czy istnieją fizyczne osobliwości? Czy wewnątrz czarnej dziury albo w momencie Wielkiego Wybuchu istniała osobliwość? Jeśli tak, to co to oznacza? Czy nieskończone były parametry opisujące materię, jak gęstość, temperatura, ciśnienie itp., czy także te opisujące czasoprzestrzeń - jak krzywizna czasoprzestrzeni?

Jednym z wyjść z tej sytuacji jest zauważenie, że w miarę jak zbliżamy się do poznawania świata w najmniejszej skali, to napotykamy ograniczenie w postaci zasady nieoznaczoności Heisenberga. Okazuje się, że świat w najdrobniejszej skali jest niepoznawalny. Nawet gdyby Achilles dzielił swoje odcinki drogi na coraz mniejsze kawałki, to w pewnym momencie (w pewnej skali) nie byłby w stanie tego robić z powodu kwantowych ograniczeń. Mechanika kwantowa orzeka, że nie da się mierzyć dowolnie małych odległości. Są one schowane pod mgłą, którą na tę skalę nakłada zasada sformułowana przez Heisenberga.

Podobnie dzieje się w dużej skali. Czarne dziury skrywają osobliwość niezwykłą - gęstość materii tak wielką - NIESKOŃCZONĄ, że prowadzącą do "rozerwania" tkanki czasoprzestrzeni. To rozerwanie powinno doprowadzić do "osobliwości" - miejsca, w którym niektóre wielkości fizyczne (jak np. gęstość materii) powinny osiągnąć wartości nieskończone - właściwe dla nieskończoności. Jak sądzi większość fizyków, obowiązuje jednak zasada "kosmicznego cenzora" mówiąca, że żadna osobliwość nie jest obserwowalna, że każda jest ukryta pod horyzontem niepozwalającym nikomu nigdy zajrzeć, co się w niej dzieje. Horyzont czarnych dziur nigdy nam nie pozwoli przekonać się, czy w ich wnętrzu cokolwiek staje się nieskończone.

Większość fizyków uważa, że pojawienie się w teorii nieskończoności świadczy o tym, że napotkała ona swój kres. Że do opisu zjawisk (jak Wielki Wybuch) potrzebna jest nowa, głębsza i szersza teoria fizyczna. Że przyroda nie znosi nie tylko próżni, ale także nieskończoności. Świetną dyskusję problemów związanych z nieskończonością, zarówno w aspektach historycznych, jak i filozoficznych oraz naukowych, przynosi nowa książka Johna D. Barrowa, laureata Nagrody Templetona, "Księga nieskończoności".

Z nieskończonością przestrzeni albo czasu (wiecznością) radzimy sobie przez rozróżnienie nieskończoności "aktualnej" (realnej, możliwej do zobaczenia i zmierzenia) oraz nieskończoności "potencjalnej" (takiej, którą jedynie sobie wyobrażamy). Nieskończoność Wszechświata jest jedynie potencjalna. Nie da się bowiem przeprowadzić żadnego (nawet myślowego) eksperymentu, którego wynikiem mogłaby być taka nieskończoność.

Nasze skończone życie

Problem nieskończoności w realnym świecie ma też inne aspekty. Np. czy możliwe jest skonstruowanie komputera, który wykonałby nieskończoną liczbę operacji w skończonym czasie? Co miałoby to oznaczać? Czy taki komputer mógłby nam po skończonym czasie wypisać ostatnią cyfrę rozwinięcia liczby p? Jaka byłaby to liczba?

Większość uczonych sądzi, że zbudowanie takiego komputera nie jest możliwe. Ale zadajmy prostsze pytanie. Rozważmy lampę, która przez połowę rozważanego czasu (np. jeśli jest to 1 godz., to przez 30 min) jest włączona. Przez połowę pozostałego (czyli 15 min) jest wyłączona. Przez połowę następnego przedziału jest włączona. Przez połowę następnego wyłączona. I tak dalej. Pytanie: czy po upływie rozważanego czasu (np. jak w przykładzie 1 godziny) lampa jest włączona czy wyłączona?

Najnowsze teorie fizyki cząstek elementarnych zakładają, że elementarne składniki materii nie są punktowe - o zerowych rozmiarach - co oznaczałoby nieskończone wartości gęstości czy ładunku, ale są rozciągłe.

Niezależnie od wieloletnich zmagań z pojęciem nieskończoności, od jego definicji filozoficznej, teologicznej i fizycznej, dla każdego z nas nieskończoność powinna oznaczać to samo: nasze własne życie jest skończone i nieskończoność dla każdego z nas polega na tym, co w tym skończonym czasie zdołamy zdziałać. A tych, którzy aspirują do osiągnięcia nieskończoności, warto przestrzec: nieskończoności jest wiele, a ta największa nie istnieje!


źródło: http://wyborcza.pl/1,76498,5263600,Stad … &startsz=x